Finansielle analyser og opsjonsprising med Path Integration

Skrevet av Markus Brabrand Urfjell
 Lead Advanced Analytics

Handler du med finansielle derivater eller mer spesifikt med opsjoner?

Hvis ja, så er vi glade for å kunne presentere en løsning som vil gjøre deg bedre rustet når du går på markedet og når du setter opp din bedrifts strategi. 

Er du mindre kjent med opsjoner? Opsjoner kan brukes til mange formål, men grunnidéen er å gi deg kontroll over risikoen du ønsker å eksponere deg for og den potensielle avkastningen du ønsker å kunne oppnå. 

En opsjon er et verdipapir som gir deg rettigheten til et valg i fremtiden. Har du for eksempel en europeisk callopsjon (den enkleste typen opsjon) på 1 fat olje så har du rett, men ikke plikt til å kjøpe et fat olje på et fremtidig tidspunkt kalt «maturity», til en avtalt pris kalt «strike» eller «exercise price». 

Si at 1 fat olje koster 60 USD i dag og at du kjøper en callopsjon på 1 fat olje til 60 USD som går ut om én måned. Si at prisen i markedet stiger til 65 USD i løpet av måneden. Opsjonen gir deg da rettigheten til å kjøpe 1 fat olje til 60 USD og opsjonen har i dette tilfellet en verdi på 5 USD ved maturity. Om prisen i markedet synker til 55 USD kan du velge å forkaste opsjonen og kjøpe 1 fat olje til markedsprisen 55 USD og opsjonen har en verdi på 0. På den måten kommer verdien til en opsjon fra volatiliteten (usikkerheten) i markedet og den potensielle gevinsten volatiliteten medfører uten at du er forpliktet til å ta et eventuelt tap. En opsjon vil derfor alltid ha en ikke-negativ verdi. 

Verdien av en opsjon er altså avhengig av et fremtidig utfall av verdiprosessen til det underliggende objektet for opsjonen. 

Det finnes mange tjenester for konsumering og analyse av finansdata. Vet du hvilke statistiske modeller og metoder som ligger bak analysene du får servert? Mest sannsynlig bygger de på teori fra pionerne Fischer Black og Myron Scholes fra 60-tallet. Unøyaktighetene og svakhetene til Black & Scholes-modellen er velkjent og veldokumentert, men teorien blir fortsatt brukt da den er enkel å implementere og kan gi raske svar sammenlignet med noen av alternativene. 

Verdien til en opsjon beregnes som forventningsverdien av opsjonen ved utløpsdato, diskontert tilbake til verdisettingens tidspunkt – ofte «nå». La ∏t benevne opsjonsverdien ved tidspunkt t. For europeiske call- og putopsjoner vil opsjonsverdien «nå», ved t = 0, for en opsjon med maturity T, være beskrevet av 

der eksponentialfaktoren diskonterer opsjonsverdien til nåverdi og beskriver en forventningsverdi i det risikonøytrale sannsynlighetsmålet og St beskriver verdien av underliggende på tidspunkt t og K er strike. En mer detaljert beskrivelse av uttrykket for opsjonsprisen er gitt i [4] sammen med beskrivelser for en rekke andre typer opsjoner og mer detaljer rundt tema for dette innlegget. 

Det finnes mange metoder for å beregne uttrykk for opsjonsverdier. Noen av disse er også diskutert kort i [4]. En av de mest brukte metodene er Monte Carlo-simuleringer. 

Monte Carlo-simuleringer ble først brukt innen finans i 1964 [2] og ble anvendt til opsjonsprising for første gang av Boyle i 1976 [3]. Metoden er veldig populær blant praktiserende på grunn av fleksibiliteten den har med tanke på modell for dynamikken til underliggende verdiprosess, uttrykk for opsjonsverdi (opsjonstyper) og flerdimensjonalitet i tillegg til å være enkel å implementere i forhold til alternativene. 

Kort sagt er ideen bak Monte Carlo-simuleringer å simulere realiseringer av den underliggende verdiprosessen fra nåværende tidspunkt til maturity ved å simulere ett og ett tidssteg (for eksempel én og én dag) og «se hvordan det gikk». Når man har gjort dette tilstrekkelig mange ganger, ser man på alle realiseringene samlet og danner et bilde av hvordan prosessen oppfører seg. 

Kostnadseffektiviteten til Monte Carlo-simuleringer ses på som en av de største svakhetene med metoden. Det nødvendige antallet simuleringer øker også kraftig med antallet dimensjoner. I tillegg vil Monte Carlo-simuleringer naturlig nok mer være mer effektivt til å gi informasjon om de mest sannsynlige utfallene av prosessen og mindre effektivt på de uventede utfallene. Dette gjør metoden velegnet til å finne forventningsverdier, men mindre effektiv til risikoanalyse. Monte Carlo-simuleringer vil heller ikke gi én, nøyaktig opsjonspris, men heller et intervall hvor opsjonsprisen er forventet å ligge. Intervallet kan gjøres tilfredsstillende smalt. En opsjonspris beregnet med Monte Carlo-simuleringer vil derfor ha både en unøyaktighet fra modellen for dynamikken til underliggende og en unøyaktighet knyttet til selve metoden. 

Vi gjør nå tyngre implementeringer innen opsjonsprising for deg og tilgjengeliggjør mer presise og raskere analyser gjennom en brukervennlig plattform. 

Modeller

Våre analyser baserer seg på avanserte lévymodeller (generaliserte hyperbolske fordelinger). Disse tar hensyn til blant annet skjevheter og kurtose i dynamikken til underliggende og andre finansielle instrumenter og plukker opp for eksempel sannsynligheten for plutselige, store utslag langt bedre enn klassiske modeller. På den måten beskriver våre modeller finansmarkedet på en mer presis måte og gir deg den informasjonen du trenger til å gå på markedet med tyngde og til å sette opp en strategi. Se Figur 1 der normalfordelingen som brukes i Black & Scholes er tilpasset prishistorikk til S&P 500 sammen med to av fordelingene vi bruker. 

Figur 1: Normalfordeling fra teorien i Black & Scholes (svart) og lévymodellene vi bruker (blå og rød) tilpasset best mulig logaritmiske returns for S&P 500 (Data hentet fra investing.com perioden 22.01.2016-22.02.2019[1]). 

Motoren

Utregningene vi gjør bygger på metoden Path Integration der vi har et team bestående av folk på kanten av akademia. Path Integration er en metode som stammer fra kvantemekanikken og har flere fordeler sammenlignet med de vanligste metodene som for eksempel Monte Carlo-simuleringer. Én fordel er at metoden er helt presis med hensyn på den underliggende modellen. En annen fordel er at metoden dekker hele utfallsrommet etter én iterasjon i motsetning til Monte Carlo-simuleringer som ikke vil dekke utfallsrommet på endelig tid. Dette er spesielt nyttig for å analysere risikobildet og de mer usannsynlige utfallene. En tredje fordel er kjøretiden. Vi har registrert opp til 80 ganger raskere prising med våre algoritmer enn med Monte Carlo-simuleringer for asiatiske opsjoner og over 100 ganger raskere for europeiske opsjoner. Dette gjelder også andre eksotiske opsjoner som barriereopsjoner og spredning og ikke minst rentederivater. 

Ideen bak Path Integration er å definere en sannsynlighetsfordeling for underliggende ved neste tidssteg, lignende som i Monte Carlo-simuleringer og så «utvikle»/propagere fordelingen fremover i tid til maturity. En av fordelene med Path Integration er at propageringen kan gjøres i «Fourierverden» der man transformerer fordelingene til et alternativt domene hvor de nødvendige beregningene kan gjøres mye raskere. Resultatet er en raskere prising som gir én, nøyaktig pris med hensyn på modellen. Man har også større fleksibilitet ved valg av modell når man jobber i «Fourierverden» der man ikke er begrenset til modeller med veldefinerte sannsynlighetsfordelinger, men det holder at man kan definere en karakteristisk funksjon. Denne forskjellen kan sammenlignes med friheten du får når du jobbet med imaginære tall, fremfor bare reelle tall. 

Vi ser derfor at vi kan analysere flere typer objekter, raskere og mer presist. Dette åpner døren for mange nye muligheter, typer data, tilgjengelighet for flere og forhåpentligvis et mer rettferdig marked samtidig som vi kan hjelpe våre kunder i de valgene de tar og gi dem et fortrinn. 

Prototype i Power BI

For demo av konseptet har vi utviklet en prototype basert på modeller i R-script og visuell analyse i Power BI. I eksempelet under har vi Bolt AS  som produserer aluminiumbolter og bruker beregningene til å lage risikostrategier for handel av aluminumopsjoner. Dessverre støtter ikke Power BI bruk av R-script i Publish to web (åpent ut på nett). Ta kontakt med oss så deler vi tilgang direkte med deg!

Ønsker du  å teste modellen mot dine egne opsjoner, ta kontakt med oss for oppsett av pilot.